Question

14．某教輔集團(tuán)進(jìn)年要研究出版多種一輪用書，其中有A，B兩種已經(jīng)投入使用，經(jīng)一學(xué)年使用過后，教輔團(tuán)隊(duì)為了調(diào)查書的質(zhì)量與社會(huì)反響，特地選擇某校高三的4個(gè)班進(jìn)行調(diào)查，從各班抽取的樣本人數(shù)如表：

班級(jí)	一	二	三	四
人數(shù)	1	2	3	4

（1）從10人中隨機(jī)抽取2人，求這2人恰好來自同一班級(jí)的概率；
（2）從中這10名學(xué)生中，指定甲、乙、丙三人為代表，已知他們每人選擇一種圖書，其中選擇A，B兩種圖書學(xué)習(xí)的概率分別是$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，且他們選擇A，B任一種圖書都是相互獨(dú)立的，設(shè)這三名學(xué)生中選擇B的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）先求出從10人中隨機(jī)抽取2人的基本事件總數(shù)，再求出這2人恰好來自同一班級(jí)包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出這2人恰好來自同一班級(jí)的概率．
（2）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，且ξ～B（3，$\frac{2}{3}$），由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）從10人中隨機(jī)抽取2人，基本事件個(gè)數(shù)n=${C}_{10}^{2}$=45，
這2人恰好來自同一班級(jí)包含的基本事件個(gè)數(shù)m=${C}_{2}^{2}+{C}_{3}^{2}+{C}_{4}^{2}$，
∴這2人恰好來自同一班級(jí)的概率P=$\frac{m}{n}$=$\frac{{C}_{2}^{2}+{C}_{3}^{2}+{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{11}{45}$．
（2）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，且ξ～B（3，$\frac{2}{3}$），
P（ξ=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{1}{27}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{6}{27}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）$=$\frac{12}{27}$，
P（ξ=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{8}{27}$．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{27}$	$\frac{6}{27}$	$\frac{12}{27}$	$\frac{8}{27}$

Eξ=$0×\frac{1}{27}+1×\frac{6}{27}+2×\frac{12}{27}$+$3×\frac{8}{27}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．