Question

13．（1）已知各項不為0的等差數(shù)列{a_n}滿足2a₂-a₇²+2a₁₂=0，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，且b₇=a₇，Tn表示數(shù)列{b_n}的前n項積，求T₁₃．
（2）不等式（m²-2m-3）x²-（m-3）x-1＜0的解集為R，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設各項不為0的等差數(shù)列{a_n}的公差為d，數(shù)列{b_n}的公比為q，由等差數(shù)列的通項和等比數(shù)列的性質(zhì)，可得所求值；
（2）對二次項系數(shù)討論，m²-2m-3=0，和m²-2m-3＜0，且判別式△＜0，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）設各項不為0的等差數(shù)列{a_n}的公差為d，數(shù)列{b_n}的公比為q，
由2a₂-a₇²+2a₁₂=0，可得2（a₁+d）-（a₁+6d）²+2（a₁+11d）=0，
化簡可得a₁+6d=4，即a₇=4．
即有b₇=4，
又T₁₃=b₁•b₂•b₃…b₁₃=b₁₃•b₁₂•b₁₁…b₁，
即有T₁₃²=（b₁b₁₃）•（b₂b₁₂）•（b₃b₁₁）…（b₁₃b₁）
=b₇²•b₇²•b₇²…b₇²=16¹³，
解得T₁₃=4¹³；
（2）由題意可得，m²-2m-3=0，解得m=3或-1，
當m=3時，不等式即為-1＜0，恒成立；
當m=-1時，不等式即為4x-1＜0不恒成立；
當m²-2m-3＜0，且判別式△＜0，即有（m-3）²+4（m²-2m-3）＜0，
解得-1＜m＜3且-$\frac{1}{5}$＜m＜3，
解得-$\frac{1}{5}$＜m＜3．
即有m的范圍是（-$\frac{1}{5}$，3]．

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項和性質(zhì)，同時考查二次不等式恒成立，注意討論二次項系數(shù)的符號和判別式的符號，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．