Question

12．如圖，?ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD=2，M為CD的中點(diǎn)，沿BM將△CBM折起，使得平面AMC⊥平面BMC，O為線段BM的中點(diǎn)．
（1）求證：CO⊥平面ABMD；
（2）求點(diǎn)D到平面AMC的距離．

Answer 1

分析 （1）由題意，△CBM是等邊三角形，取CM的中點(diǎn)E，連接BE，則BE⊥CM，證明AM⊥平面BMC，可得平面ABMD⊥平面BMC，利用O是BM的中點(diǎn)，可得CO⊥BM，即可證明CO⊥平面ABMD；
（2）點(diǎn)D到平面AMC的距離等于點(diǎn)B到平面AMC的距離的一半，即可求點(diǎn)D到平面AMC的距離．

解答 （1）證明：由題意，△CBM是等邊三角形，取CM的中點(diǎn)E，連接BE，則BE⊥CM，
∴平面AMC⊥平面BMC，平面AMC∩平面BMC=CM，
∴BE⊥平面AMC，
∴BE⊥AM，
∵AM⊥BM，BE∩BM=B，
∴AM⊥平面BMC，
∴平面ABMD⊥平面BMC，
∵O是BM的中點(diǎn)，
∴CO⊥BM，
∴CO⊥平面ABMD；
（2）解：連接BD交AM于F，則△FDM∽△FBA，
∴BF=2DF，
∴點(diǎn)D到平面AMC的距離等于點(diǎn)B到平面AMC的距離的一半，即為$\frac{1}{2}$BE，
∵△CBM是邊長為1的等邊三角形，
∴點(diǎn)D到平面AMC的距離是$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查線面垂直、平面與平面垂直，考查點(diǎn)D到平面AMC的距離，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．