Question

若滿足方程：x²+y²-2（t+3）x+2（1-4t²）y+16t²+9=0（t∈R）的點(diǎn)的軌跡是圓．
（1）求t的取值范圍；
（2）求其中面積最大的圓的方程；
（3）若點(diǎn)P（3，4t²）恒在所給的圓內(nèi)，求t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專(zhuān)題：直線與圓

分析：（1）已知方程可化為（x-t-3）²+（y+1-4t²）²=（t+3）²+（1-4t²）²-16t⁴-9，由此能求出t的取值范圍．
（2）r=

-7t2+6t+1

=

-7(t- 3 7 )2+ 16 7

，由此能求出r_max=

4 7

7

，此時(shí)圓的面積最大，并能求出對(duì)應(yīng)的圓的方程．
（3）由點(diǎn)P恒在所給圓內(nèi)，得（t+3-3）²+（4t²-1-4t²）²＜-7t²+6t+1，由此能求出0＜t＜

3

4

．

解答： 解：（1）已知方程可化為：
（x-t-3）²+（y+1-4t²）²=（t+3）²+（1-4t²）²-16t⁴-9
∴r²=-7t²+6t+1＞0，即7t²-6t-1＜0，
解得-

1

7

＜t＜1，
t的取值范圍是（-

1

7

，1）．
（2）r=

-7t2+6t+1

=

-7(t- 3 7 )2+ 16 7

，
當(dāng)t=

3

7

∈（-

1

7

，1）時(shí)，
r_max=

4 7

7

，
此時(shí)圓的面積最大，對(duì)應(yīng)的圓的方程是：（x-

24

7

）²+（y+

13

49

）²=

16

7

．
（3）圓心的坐標(biāo)為（t+3，4t²-1）．
半徑 r²=（t+3）²+（1-4t²）²-（16t⁴+9）=-7t²+6t+1
∵點(diǎn)P恒在所給圓內(nèi)，
∴（t+3-3）²+（4t²-1-4t²）²＜-7t²+6t+1，
即4t²-3t＜0，
解得0＜t＜

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查圓的方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．