Question

如圖所示，F(xiàn)₁、F₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點，A、B為兩個頂點，該橢圓的離心率為

5

5

，△ABO的面積為

5

．
（1）求橢圓C的方程和焦點坐標(biāo)；
（2）作與AB平行的直線l交橢圓于P、Q兩點，|PQ|=

9 5

5

，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題設(shè)知：

c a = 5 5 1 2 ab= 5

，由此能求出橢圓方程和焦點F₁、F₂的坐標(biāo)．
（2）由（1）知A(-

5

，0)， B(0，2)，從而kPQ=kAB=

2

5

，設(shè)直線l的方程為y=

2

5

x+b，由

y= 2 5 x+b x2 5 + y2 4 =1

，得8x2+4

5

bx+5b2-20=0，由此利用韋達定理和弦長公式能求出直線l的方程．

解答： 解：（1）∵F₁、F₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點，
A、B為兩個頂點，該橢圓的離心率為

5

5

，△ABO的面積為

5

，
∴由題設(shè)知：

c a = 5 5 1 2 ab= 5

，又a²=b²+c²，
將c=

5

5

a，b=

2 5

a

代入，
得到：

a2

5

+

20

a2

=a2，即a⁴=25，∴a²=5，b²=4，
故橢圓方程為

x2

5

+

y2

4

=1，…（4分）
焦點F₁、F₂的坐標(biāo)分別為（-1，0）和（1，0）．…（5分）
（2）由（1）知A(-

5

，0)， B(0，2)，
∴kPQ=kAB=

2

5

，
∴設(shè)直線l的方程為y=

2

5

x+b，…（7分）
由

y= 2 5 x+b x2 5 + y2 4 =1

，得8x2+4

5

bx+5b2-20=0，…（9分）
設(shè)P （x₁，y₁），Q （x₂，y₂），
則x1+x2=-

5 b

2

， x1•x2=

5b2-20

8

，…（10分）
∴y1-y2=

2

5

(x1-1)-

2

5

(x2-1)=

2

5

(x1-x2)，…（11分）
∴|PQ| =

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

[1+( 2 5 )2] (x1-x2)2

=

3

5

(x1+x2)2-4x1x2

=

3

5

5b2 4 -4× 5b2-20 8

=

9

5

，
解得b2=

4

5

（驗證判別式為正），
∴直線l的方程為y=

2

5

x±

2

5

．…（14分）

點評：本題考查橢圓方程和焦點坐標(biāo)的求法，考查直線方程的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意韋達定理、弦長公式的合理運用．