Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow$=（cosx，-$\sqrt{3}$cosx），求函數(shù)f（x）=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-1的周期和單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 運(yùn)用數(shù)量積得出函數(shù)f（x）=sin2x=2cos（2x+$\frac{π}{3}$），再運(yùn)用三角函數(shù)的性質(zhì)得出周期T=$\frac{2π}{2}$=π，2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈z，求解得出單調(diào)區(qū)間．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow$=（cosx，-$\sqrt{3}$cosx），
∴函數(shù)f（x）=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-1=2cos²x-2$\sqrt{3}$sinxcosx-1=cos2x-$\sqrt{3}$sin2x=2cos（2x+$\frac{π}{3}$），
即∵2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈z，
∴k$π-\frac{5π}{12}$≤x≤k$π+\frac{π}{12}$，k∈z，
故單調(diào)遞增區(qū)間為[k$π-\frac{5π}{12}$，k$π+\frac{π}{12}$]k∈z

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)量積運(yùn)算、倍角公式、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的周期公式、單調(diào)性，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．