Question

函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足f（1+x）=f（1-x），當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=2x，若在區(qū)間[-2，3]上方程ax+2a-f（x）=0恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由f（1+x）=f（1-x）以及函數(shù)的奇偶性得到f（x+2）=f（x），得到函數(shù)的周期是2，利用函數(shù)的周期性和奇偶性作出函數(shù)f（x）的圖象，由ax+2a-f（x）=0等價(jià)為f（x）=a（x+2），利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：若在區(qū)間[-2，3]上方程ax+2a-f（x）=0恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，等價(jià)為f（x）=a（x+2）有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
即函數(shù)f（x）和g（x）=a（x+2），有四個(gè)不相同的交點(diǎn)，
∵f（x+2）=f（x），∴函數(shù)的周期是2，
當(dāng)-1≤x≤0時(shí)，0≤-x≤1，此時(shí)f（-x）=-2x，
∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（-x）=-2x=f（x），
即f（x）=-2x，-1≤x≤0，
作出函數(shù)f（x）和g（x）的圖象，
當(dāng)g（x）經(jīng)過(guò)A（1，2）時(shí)，兩個(gè)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)g（1）=3a=2，解得a=

2

3

當(dāng)g（x）經(jīng)過(guò)B（3，2）時(shí)，兩個(gè)圖象有5個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)g（3）=5a=2，解得a=

2

5

，
要使在區(qū)間[-2，3]上方程ax+2a-f（x）=0恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
則

2

5

＜a＜

2

3

，
故答案為：

2

5

＜a＜

2

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查方程根的公式的應(yīng)用，利用方程和函數(shù)之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．