Question

【題目】已知點(diǎn)，圓：，過點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于、兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，且在圓上．

（1）若直線（）經(jīng)過點(diǎn)，求的最大值；

（2）求圓的方程；

（3）若過點(diǎn)的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．與：的交點(diǎn)為，求證：為定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）由，利用基本不等式，求得，即可求得的最大值；（2）由圓的圓心為，半徑為，設(shè)設(shè)，得出，，利用由題設(shè)知，即可求解圓的方程；（3）設(shè)直線的方程為（），直線方程與圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，得出點(diǎn)的坐標(biāo)，同理得出的坐標(biāo)，即可求解為定值．

試題解析：（1）∵，∴，即，∴．

（2）圓的圓心為，半徑為5，

設(shè)，則，，

由題設(shè)知，∴，即，

∴的方程是．

（3）設(shè)直線的方程為（）．

由得，

又直線與垂直，

由得，

∴

（定值）．