Question

7．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，過點(diǎn)A作⊙O的切線EP交CB的延長線于P，∠PAB=35°．
（1）若BC是⊙O的直徑，求∠D的大�。�
（2）若∠PAB=35°，求證：$\frac{D{A}^{2}}{A{P}^{2}}$=$\frac{DC}{PC}$．

Answer 1

分析 （1）由弦切角定理得∠ACB=∠PAB=25°，從而∠ABC=65°，由此利用四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，能求出∠D．
（2）由∠DAE=25°，∠ACD=∠PAB，∠D=∠PBA，從而△ADC∽△PBA，由此能證明DA²=DC•BP，AP²=PC•BP，即可證明結(jié)論．

解答 （1）解：∵EP與⊙O相切于點(diǎn)A，∴∠ACB=∠PAB=35°，
又BC是⊙O的直徑，∴∠ABC=55°．
∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠ABC+∠D=180°，
∴∠D=112°．
（2）證明：∵∠DAE=35°，
∴∠ACD=∠PAB，∠D=∠PBA，
∴△ADC∽△ABP，
∴$\frac{DA}{BP}$=$\frac{DC}{BA}$，∠DBA=∠BDA，
∴DA=BA，∴DA²=DC•BP，AP²=PC•BP，
∴$\frac{D{A}^{2}}{A{P}^{2}}$=$\frac{DC}{PC}$．

點(diǎn)評 本題考查角的大小的求法，考查三角形相似的判定與性質(zhì)，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意弦切角定理的合理運(yùn)用．