Question

5．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁a₂…a_n=1-a_n，n∈N^*．
（1）證明：{$\frac{1}{1-{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記T_n=$\left\{\begin{array}{l}{1（n=1）}\\{{{a}_{1}a}_{2}…{a}_{n-1}（n≥2）}\end{array}\right.$（n∈N^*），S_n=T₁+T₂+…+T_n，證明：$\frac{1}{2}$≤S_2n-S_n$＜\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列{a_n}滿足：a₁a₂…a_n=1-a_n，n∈N^*．當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1-a₁，解得a₁．當(dāng)n≥2時(shí)，利用遞推關(guān)系可得：a_n=$\frac{1-{a}_{n}}{1-{a}_{n-1}}$，化為：$\frac{1}{1-{a}_{n}}$-$\frac{1}{1-{a}_{n-1}}$=1，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）由T_n=$\left\{\begin{array}{l}{1（n=1）}\\{{{a}_{1}a}_{2}…{a}_{n-1}（n≥2）}\end{array}\right.$（n∈N^*），可得：當(dāng)n=1時(shí)，T₁=1．當(dāng)n≥2時(shí)，T_n=a₁a₂…a_n-1=1-a_n-1=$\frac{1}{n}$，因此S_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$．S_2n-S_n=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$≥$\frac{n}{n+n}$，即可證明不等式的左邊成立．由于S_2n-S_n=$\frac{1}{2}$$[（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+n}）$+$（\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+n-1}）$+…+$（\frac{1}{n+n}+\frac{1}{n+1}）]$＜$\frac{1}{2}$$（\frac{3}{2n}+\frac{3}{2n}+…+\frac{3}{2n}）$即可證明不等式的右邊成立．

解答 證明：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足：a₁a₂…a_n=1-a_n，n∈N^*．
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1-a₁，解得a₁=$\frac{1}{2}$．
當(dāng)n≥2時(shí)，a₁a₂…a_n-1=1-a_n-1，∴a_n=$\frac{1-{a}_{n}}{1-{a}_{n-1}}$，
化為：$\frac{1}{1-{a}_{n}}$-$\frac{1}{1-{a}_{n-1}}$=1，
∴{$\frac{1}{1-{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為1．
∴$\frac{1}{1-{a}_{n}}$=2+（n-1）=n+1．
解得a_n=$\frac{n}{n+1}$．
（2）∵T_n=$\left\{\begin{array}{l}{1（n=1）}\\{{{a}_{1}a}_{2}…{a}_{n-1}（n≥2）}\end{array}\right.$（n∈N^*），
∴當(dāng)n=1時(shí)，T₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，T_n=a₁a₂…a_n-1=1-a_n-1=1-$\frac{n-1}{n}$=$\frac{1}{n}$，
∴S_n=T₁+T₂+…+T_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$．
∴S_2n-S_n=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$≥$\frac{n}{n+n}$=$\frac{1}{2}$．
不等式的左邊$\frac{1}{2}$≤S_2n-S_n成立．
∵S_2n-S_n=$\frac{1}{2}$$[（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+n}）$+$（\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+n-1}）$+…+$（\frac{1}{n+n}+\frac{1}{n+1}）]$
＜$\frac{1}{2}$$（\frac{3}{2n}+\frac{3}{2n}+…+\frac{3}{2n}）$=$\frac{3n}{4n}$=$\frac{3}{4}$．
∴不等式的右邊成立：S_2n-S_n$＜\frac{3}{4}$．
綜上可得：$\frac{1}{2}$≤S_2n-S_n$＜\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、“放縮法”、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．