Question

某單位擬建一個(gè)扇環(huán)面形狀的花壇(如圖所示)，該扇環(huán)面是由以點(diǎn)為圓心的兩個(gè)同心圓弧和延長(zhǎng)后通過(guò)點(diǎn)的兩條直線段圍成．按設(shè)計(jì)要求扇環(huán)面的周長(zhǎng)為30米，其中大圓弧所在圓的半徑為10米.設(shè)小圓弧所在圓的半徑為，圓心角為（弧度）．
（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；
（2）已知在花壇的邊緣(實(shí)線部分)進(jìn)行裝飾時(shí)，直線部分的裝飾費(fèi)用為4元/米，弧線部分的裝飾費(fèi)用為9元/米．設(shè)花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的比為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出為何值時(shí)，取得最大值？

Answer 1

（1）；（2），當(dāng)時(shí)，花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的比最大.

解析試題分析：（1）根據(jù)已知條件，將周長(zhǎng)米為等量關(guān)系可以建立滿足的關(guān)系式，再由此關(guān)系式進(jìn)一步得到函數(shù)解析式：，即可解得；（2）根據(jù)題意及（1）可得花壇的面積為，裝飾總費(fèi)用為
，因此可得函數(shù)解析式，而要求的最大值，即求函數(shù)的最大值，可以考慮采用換元法令，從而，再利用基本不等式，即可求得的最大值：，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，，因此當(dāng)時(shí)，花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的比最大.
試題解析：（1）扇環(huán)的圓心角為，則，∴，      3分
（2）由（1）可得花壇的面積為，    6分
裝飾總費(fèi)用為，             8分
∴花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的，        10分
令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，，   12分
答：當(dāng)時(shí)，花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的比最大．       13分
考點(diǎn)：1.扇形公式的運(yùn)用；2.利用基本不等式函數(shù)求極值.