Question

已知曲線C的參數(shù)方程為

x=3+3cosθ y=3sinθ

（θ是參數(shù)），以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為θ=

π

4

（ρ∈R），曲線C與直線l相交于點A、B．
（Ⅰ） 將曲線C的方程化為普通方程，直線l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ） 求弦AB的長．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）由

x=3+3cosθ y=3sinθ

轉(zhuǎn)化為：（x-3）²+y²=9，直線l的極坐標(biāo)方程為θ=

π

4

(ρ∈R)，轉(zhuǎn)化為；直線l的直角坐標(biāo)方程是：x-y=0
（Ⅱ） 直線l的參數(shù)方程為

x= 2 2 t y= 2 2 t

把它代入方程（x-3）²+y²=9中，弦AB的長為：|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

18-0

=3

2

解答： 解：（Ⅰ）由

x=3+3cosθ y=3sinθ

可得：

x-3=3cosθ y=3sinθ

，
把 ①²+②²得到原參數(shù)方程的普通方程：（x-3）²+y²=9，
直線l的極坐標(biāo)方程為θ=

π

4

(ρ∈R)，
由互化公式tanθ=

y

x

，即

y

x

=1，
則直線l的直角坐標(biāo)方程是：x-y=0．
（Ⅱ） 直線l的參數(shù)方程為：

x= 2 2 t y= 2 2 t

（t為參數(shù)），
把它代入方程（x-3）²+y²=9中，
即(

2

2

t-3)2+(

2

2

t)2=9⇒t2-3

2

t=0，
設(shè)點A、B對應(yīng)的參數(shù)值分別為t₁，t₂，由參數(shù)t的幾何意義可得，
弦AB的長為：|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

18-0

=3

2

．
故答案為：（Ⅰ）（x-3）²+y²=9和x-y=0，
（Ⅱ）AB=3

2

．

點評：本題考查的知識要點：參數(shù)方程和直角坐標(biāo)方程的互化及極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，弦長公式的應(yīng)用．