長方形中,
,
.以
的中點
為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.
(1) 求以、
為焦點,且過
、
兩點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2) 過點的直線
交(1)中橢圓于
兩點,是否存在直線
,使得以線段
為直徑的圓恰好過坐標(biāo)原點?若存在,求出直線
的方程;若不存在,請說明理由.
(1) ;(2) 存在過
的直線
:
,理由見解析.
【解析】
試題分析:(1)由題意可得點的坐標(biāo),設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)題意知
,求得
,進(jìn)而根據(jù)
和
的關(guān)系求得
,則橢圓的方程可得;(2)設(shè)直線
的方程為
.與橢圓方程聯(lián)立,設(shè)
兩點坐標(biāo)分別為
.根據(jù)韋達(dá)定理求得
和
,進(jìn)而根據(jù)若以
為直徑的圓恰好過原點,推斷則
,得知
,根據(jù)
求得
代入即可求得
,最后檢驗看是否符合題意.
(1)由題意可得點的坐標(biāo)分別為
.
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.
,
.
.
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是
(2) 由題意直線的斜率存在,可設(shè)直線的方程為
.
聯(lián)立方程,消去
整理得
.
設(shè)兩點的坐標(biāo)分別為
∴.
若以為直徑的圓恰好過原點,則
,所以
,
所以,,即
.
所以,即
得滿足
,
所以直線的方程為
,或
.
故存在過的直線
:
使得以弦
為直徑的圓恰好過原點.
考點:1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;2、直線的一般式方程;3、直線與圓相交的性質(zhì);4、直線與圓錐曲線的綜合問題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆廣東省惠州市高二3月月考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
如圖所示,陰影部分的面積是( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆廣東省等六校高三8月聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
一個空間幾何體的三視圖及部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示,則這個幾何體的體積是( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆山西省忻州市高二下學(xué)期期中聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
給出以下命題:
①對于平面幾何中的命題:“夾在兩條平行線之間的平行線段相等”,在立體幾何中,類比上述命題,可以得到命題:“夾在兩個平行平面間的平行線段相等”.
②=2;
③已知函數(shù)的圖象與直線
有相異三個公共點,則
的取值范圍是(-2,2)
其中正確命題是( )
A.①②③ B.①② C.①③ D.②③
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆山西省忻州市高二下學(xué)期期中聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
設(shè)為曲線
上的點,且曲線
在點
處切線傾斜角的取值范圍是(
,
),則點
橫坐標(biāo)的取值范圍為( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆山西省忻州市高二下學(xué)期期中聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知直線的方程為
,圓
的方程為
.
(1) 把直線和圓
的方程化為普通方程;
(2) 求圓上的點到直線
距離的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆山西省忻州市高二下學(xué)期期中聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
若函數(shù)的圖像與
軸交于點
,過點
的直線
與函數(shù)
的圖像交于
兩點,則
( )
A.-32 B.-16 C.16 D.32
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆山西省高二下學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
已知函數(shù)在
上單調(diào)遞增,則實數(shù)
的取值范圍是 .
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