Question

已知橢圓C：

x2

4

+y²=1的短軸的端點(diǎn)分別為A，B（如圖），直線AM，BM分別與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，其中點(diǎn)M（m，

1

2

）滿足m≠0，且m≠±

3

．
（1）用m表示點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)；
（2）證明直線EF與y軸交點(diǎn)的位置與m無(wú)關(guān)．
（3）若△BME面積是△AMF面積的5倍，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）直線AM的斜率為k₁=-

1

2m

，直線BM斜率為k₂=

3

2m

，直線AM的方程為y=-

1

2m

x+1，直線BM的方程為y=

3

2m

x-1，由

x2 4 +y2=1 y=- 1 2m x+1

，得E（

4m

m2+1

，

m2-1

m2+1

），由

x2 4 +y2=1 y= 3 2m x-1

，得F（

12m

m2+9

，

9-m2

m2+9

）．
（Ⅱ）由已知條件求出直線EF的斜率k=-

m2+3

4m

，直線EF的方程為y-

m2-1

m2+1

=-

m2+3

4m

(x-

4m

m2+1

)，由此能證明EF與y軸交點(diǎn)的位置與m無(wú)關(guān)．
（Ⅲ）S_△BMF=

1

2

|MA||MF|sin∠AMF，S_△BME=

1

2

|MB||ME|sin∠BME，由5S_△AMF=S_△BME，得

1

m2+1

=

15

m2+9

-1，由此能求出結(jié)果．

解答： （Ⅰ）解：∵A（0，1），B（0，-1），M （m，

1

2

），且m≠0，
∴直線AM的斜率為k₁=-

1

2m

，直線BM斜率為k₂=

3

2m

，
∴直線AM的方程為y=-

1

2m

x+1，直線BM的方程為y=

3

2m

x-1，
由

x2 4 +y2=1 y=- 1 2m x+1

，得（m²+1）x²-4mx=0，
∴x=0，x=

4m

m2+1

，∴E（

4m

m2+1

，

m2-1

m2+1

），
由

x2 4 +y2=1 y= 3 2m x-1

，得（9+m²）x²-12mx=0，
∴x=0，x=

12m

m2+9

，∴F（

12m

m2+9

，

9-m2

m2+9

）．
（Ⅱ）證明：據(jù)已知，m≠0，m²≠3，
∴直線EF的斜率k=

m2-1 1+m2 - 9-m2 9+m2

4m 1+m2 - 12m 9+m2

=

(m2+3)(m2-3)

-4m(m2-3)

=-

m2+3

4m

，
∴直線EF的方程為y-

m2-1

m2+1

=-

m2+3

4m

(x-

4m

m2+1

)，
令x=0，得y=2，∴EF與y軸交點(diǎn)的位置與m無(wú)關(guān)．
（Ⅲ）解：∵S_△BMF=

1

2

|MA||MF|sin∠AMF，
S_△BME=

1

2

|MB||ME|sin∠BME，
∵∠AMF=∠BME，5S_△AMF=S_△BME，
∴5|MA||MF|=|MB||ME|，∴

5|MA|

|ME|

=

|MB|

|MF|

，
∴

5m

4m m2+1 -m

=

m

12m 9+m2 -m

，∵m≠0，
∴整理方程得

1

m2+1

=

15

m2+9

-1，即（m²-3）（m²-1）=0，
又∵m≠±3，∴m²-3≠0，
∴m²=1，∴m=±1為所求．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，考查直線與y軸交點(diǎn)與實(shí)數(shù)m無(wú)關(guān)，考查實(shí)數(shù)值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．