Question

19．設(shè)m∈R，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+my=0和過定點(diǎn)B的直線mx-y-m+3=0交于點(diǎn)P（x，y），則|PA|+|PB|的最大值是$2\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由直線過定點(diǎn)可得AB的坐標(biāo)，由直線垂直可得|PA|²+|PB|²=|AB|²=10，由基本不等式可得．

解答 解：由題意可得動(dòng)直線x+my=0過定點(diǎn)A（0，0），
直線mx-y-m+3=0可化為（x-1）m+3-y=0，
令$\left\{\begin{array}{l}{x-1=0}\\{3-y=0}\end{array}\right.$可解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，即B（1，3），
又1×m+m×（-1）=0，故兩直線垂直，
∴|PA|²+|PB|²=|AB|²=10，
由基本不等式可得10=|PA|²+|PB|²
=（|PA|+|PB|）²-2|PA||PB|
≥（|PA|+|PB|）²-2（$\frac{|PA|+|PB|}{2}$）²
=$\frac{1}{2}$（|PA|+|PB|）²，
∴（|PA|+|PB|）²≤20，
解得|PA|+|PB|≤2$\sqrt{5}$
當(dāng)且僅當(dāng)|PA|=|PB|=$\sqrt{5}$時(shí)取等號．
故答案為：2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查兩點(diǎn)間的距離公式，涉及直線過定點(diǎn)和整體利用基本不等式求最值，屬中檔題．