Question

2．已知α∈（0，$\frac{π}{2}$），三個(gè)數(shù)sinα+$\frac{4}{cosα}$，cosα+$\frac{4}{tanα}$，tanα+$\frac{4}{sinα}$中（　�。�

• A． 都小于$\frac{14}{3}$
• B． 至少一個(gè)大于或等于$\frac{14}{3}$
• C． 都大于或等于4
• D． 至多一個(gè)大于5

Answer 1

分析 由α∈（0，$\frac{π}{2}$），則sinα、cosα∈（0，1），tanα∈（0，+∞），將三個(gè)數(shù)相加，運(yùn)用基本不等式和函數(shù)y=ax+$\frac{x}$的性質(zhì)，即可判斷．

解答 解：由α∈（0，$\frac{π}{2}$），
則sinα、cosα∈（0，1），tanα∈（0，+∞），
由sinα+$\frac{4}{cosα}$+cosα+$\frac{4}{tanα}$+tanα+$\frac{4}{sinα}$
=（sinα+$\frac{4}{sinα}$）+（cosα+$\frac{4}{cosα}$）+（tanα+$\frac{4}{tanα}$）＞（1+4）+（1+4）+2$\sqrt{tanα•\frac{4}{tanα}}$=14，
即有三個(gè)數(shù)sinα+$\frac{4}{cosα}$，cosα+$\frac{4}{tanα}$，tanα+$\frac{4}{sinα}$中
至少一個(gè)大于或等于$\frac{14}{3}$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的求值，基本不等式的運(yùn)用和函數(shù)y=ax+$\frac{x}$的性質(zhì)的運(yùn)用，屬于中檔題．