Question

17．過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F作傾斜角為135°的直線，交拋物線于A，B兩點，則△OAB的面積為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}{p^2}$
• B． $\sqrt{2}{p^2}$
• C． p²
• D． 2p²

Answer 1

分析 寫出過A，B兩點的直線方程，和拋物線方程聯(lián)立后化為關(guān)于y的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系得到A，B兩點縱坐標的和與積，把△OAB的面積表示為兩個小三角形AOF與BOF的面積和得答案．

解答 解：弦AB的方程y=-x+$\frac{p}{2}$，把它與y²=2px聯(lián)立得關(guān)于y的一元二次方程y²+2py-p²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁+y₂=-2p，y₁y₂=-p²．
∴S_△OAB=S_△OAF+S_△OFB=$\frac{p}{4}$|y₁-y₂|=$\frac{p}{4}$×$\sqrt{4{p}^{2}+4{p}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}{p}^{2}$
故選：A．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，涉及直線和圓錐曲線關(guān)系問題，常采用聯(lián)立直線和圓錐曲線，然后利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系解題，是中檔題．