Question

19．已知m∈R，函數(shù)f（x）=（x²+mx+m）•e^x．
（Ⅰ）當(dāng)m=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求證：f（x）≥x³+x²+mxe^x+me^x．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（1），f（1）的值，代入切線方程即可；（Ⅱ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)g（x）=e^x-x-1的單調(diào)性，求出g（x）≥0，從而證出結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：當(dāng)m=1時(shí)，f（x）=（x²+x+1）e^x，
則f′（x）=（x²+3x+2）e^x，
∴K=f′（1）=6e，
∵f（1）=3e，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為：
y-3e=6e（x-1），即6ex-y-3e=0；
（Ⅱ）證明：由題意，得：
f（x）-（x³+x²+mxe^x+me^x）
=x²e^x-x²-x³=x²（e^x-x-1），
當(dāng)x=0時(shí)，結(jié)論顯然成立，
當(dāng)x＞0．∵x²＞0，令g（x）=e^x-x-1，
則g′（x）=e^x-1，
∴當(dāng)x＞0時(shí)g（x）為增函數(shù)；
當(dāng)x＜0時(shí)g（x）為減函數(shù)，
∴x=0時(shí)g（x）取最小值，g（0）=0．
∴g（x）≥0，∴≥0，
∴f（x）≥x²+x³．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了曲線的切線方程問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．