Question

3．（1）已知矩陣M=$（\begin{array}{l}{2}&{a}\\{2}&{1}\end{array}）$，其中a∈R，若點(diǎn)P（1，-2）的矩陣M的變換下得到點(diǎn)P′（-4，0），求矩陣M的特征值及其對應(yīng)的特征向量；
（2）已知二階矩陣A=$（\begin{array}{l}{a}&\\{c}&hw5m0b3\end{array}）$，矩陣A屬于特征值λ₁=-1的一個特征向量為$\overrightarrow{{α}_{1}}$=$（\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}）$，屬于特征值λ₂=4的一個特征向量$\overrightarrow{{α}_{2}}$=$（\begin{array}{l}{3}\\{2}\end{array}）$，求矩陣A．

Answer 1

分析 （1）利用矩陣的乘法，可求實(shí)數(shù)a的值，根據(jù)特征值的定義列出特征多項(xiàng)式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應(yīng)的特征向量．
（2）由特征值、特征向量定義可知，Aα₁=λ₁α₁，由此可建立方程組，從而可求矩陣A．

解答 解：（1）由$（\begin{array}{l}{2}&{a}\\{2}&{1}\end{array}）$$[\begin{array}{l}{1}\\{-2}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{-4}\\{0}\end{array}]$，∴2-2a=-4，∴a=3；
∴M=$[\begin{array}{l}{2}&{3}\\{2}&{1}\end{array}]$，則矩陣M的特征多項(xiàng)式為f（λ）=（λ+1）（λ-4），
令f（λ）=0，可求得特征值為λ₁=-1，λ₂=4，
設(shè)λ₁=-1對應(yīng)的一個特征向量為α=$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$
則由λ₁α=Mα，得x+y=0，可令x=1，則y=-1，
∴矩陣M的一個特征值λ₁=-1對應(yīng)的一個特征向量為$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$，
同理可得矩陣M的一個特征值λ₂=4對應(yīng)的一個特征向量為$[\begin{array}{l}{3}\\{2}\end{array}]$．
（2）由特征值、特征向量定義可知，Aα₁=λ₁α₁，
即$（\begin{array}{l}{a}&\\{c}&5ocxbws\end{array}）$$（\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}）$=-1×$（\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}）$，得$\left\{\begin{array}{l}{a-b=-1}\\{c-d=1}\end{array}\right.$
同理可得$\left\{\begin{array}{l}{3a+2b=12}\\{3c+2d=8}\end{array}\right.$，解得a=2，b=3，c=2，d=1．
因此矩陣A=$[\begin{array}{l}{2}&{3}\\{2}&{1}\end{array}]$．

點(diǎn)評 本小題主要考查矩陣與變換、矩陣的特征值與特征向量等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力．