Question

15．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)，M，N分別是A₁B₁，BC，C₁D₁和B₁C₁的中點(diǎn)．
（1）求證：平面MNF⊥平面NEF；
（2）求二面角M-EF-N的平面角正切值．

Answer 1

分析 （1）不妨取正方體的棱長(zhǎng)AB=2，由E，M，N分別是A₁B₁，C₁D₁和B₁C₁的中點(diǎn)．可得MN²+EN²=EM²，可得MN⊥EN．由正方體的性質(zhì)可得：FN⊥EN，可得EN⊥平面CNM，平面MNF⊥平面NEF．
（2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)平面EFM的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EF}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EM}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}$．設(shè)平面EFN的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x₁，y₁，z₁），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FN}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$，可得$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$．

解答 （1）證明：不妨取正方體的棱長(zhǎng)AB=2，∵E，M，N分別是A₁B₁，C₁D₁和B₁C₁的中點(diǎn)．
∴MN²+EN²=1²×2+1²×2=4=EM²，∴MN⊥EN．
由正方體的性質(zhì)可得：FN⊥平面A₁B₁C₁D₁，EN?平面A₁B₁C₁D₁，∴FN⊥EN，
又MN∩FN=N，
∴EN⊥平面CNM，又EN?平面ENF，
∴平面MNF⊥平面NEF．
（2）解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．D（0，0，0），M（0，1，2），E（2，1，2），N（1，2，2），F(xiàn)（1，2，0）．
$\overrightarrow{EF}$=（-1，1，-2），$\overrightarrow{EM}$=（-2，0，0），$\overrightarrow{FN}$=（0，0，2）．
設(shè)平面EFM的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EF}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EM}=0}\end{array}\right.$，
可得$\left\{\begin{array}{l}{-{x}_{1}+{y}_{1}-2{z}_{1}=0}\\{-2{x}_{1}=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=（0，2，1）．
設(shè)平面EFN的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x₁，y₁，z₁），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FN}=0}\end{array}\right.$，
可得$\left\{\begin{array}{l}{-{x}_{2}+{y}_{2}-2{z}_{2}=0}\\{2{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0）．
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-2}{\sqrt{5}×\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
由圖可知：二面角M-EF-N的平面角是銳角．
∴二面角M-EF-N的平面角正切值=$\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系及其空間角、線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、法向量的應(yīng)用、正方體的性質(zhì)、勾股定理與逆定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．