【題目】已知橢圓的中心在原點,焦點在軸上,離心率.以兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形的周長為8,面積為

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)若點為橢圓上一點,直線的方程為,求證:直線與橢圓有且只有一個交點.

【答案】(I);(II)詳見解析.

【解析】試題分析:

(1)利用題意求得, ,橢圓的方程為

(2)首先討論當的情況,否則聯(lián)立直線與橢圓的方程,結(jié)合直線的特點整理可得直線與橢圓有且只有一個交點.

試題解析:(Ⅰ)依題意,設(shè)橢圓的方程為,焦距為,

由題設(shè)條件知, ,

, ,

所以 ,或, (經(jīng)檢驗不合題意舍去),

故橢圓的方程為

(Ⅱ)當時,由,可得,

, 時,直線的方程為,直線與曲線有且只有一個交點

, 時,直線的方程為,直線與曲線有且只有一個交點

時,直線的方程為,聯(lián)立方程組

消去,得.①

由點為曲線上一點,得,可得

于是方程①可以化簡為,解得,

代入方程可得,故直線與曲線有且有一個交點

綜上,直線與曲線有且只有一個交點,且交點為

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)(其中是自然對數(shù)的底數(shù)),,.

(1)記函數(shù),且,求的單調(diào)增區(qū)間;

(2)若對任意,,均有成立,求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】如圖,平面平面,四邊形是菱形, .

(1)求證: ;

(2)若,且直線與平面所成角為,求二面角的平面角的余弦值.

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【題目】某市對創(chuàng)“市級示范性學!钡募住⒁覂伤鶎W校進行復查驗收,對辦學的社會滿意度一項評價隨機訪問了20為市民,這20位市民對這兩所學校的評分(評分越高表明市民的評價越好)的數(shù)據(jù)如下:

甲校:58,66,71,58,67,72,82,92,83,86,67,59,86,72,78,59,68,69,73,81;

乙校:90,80,73,65,67,69,81,85,82,88,89,86,86,78,98,95,96,91,76,69,.

檢查組將成績分成了四個等級:成績在區(qū)間的為等,在區(qū)間的為等,在區(qū)間的為等,在區(qū)間等.

(1)請用莖葉圖表示上面的數(shù)據(jù),并通過觀察莖葉圖,對兩所學校辦學的社會滿意度進行比較,寫出兩個統(tǒng)計結(jié)論;

(2)估計哪所學校的市民的評分等級為級或級的概率大,說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知兩條直線l1(3+m)x+4y=5﹣3m,l2 2x+(5+m)y=8.當m分別為何值時,l1與l2
(1)相交?
(2)平行?
(3)垂直?

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

(1)討論的單調(diào)性;

(2)設(shè),若有兩個極值點,且不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在某大學自主招生的面試中,考生要從規(guī)定的6道科學題,4道人文題共10道題中,隨機抽取3道作答,每道題答對得10分,答錯或不答扣5分,已知甲、乙兩名考生參加面試,甲只能答對其中的6道科學題,乙答對每道題的概率都是,每個人答題正確與否互不影響.

(1)求考生甲得分的分布列和數(shù)學期望;

(2)求甲,乙兩人中至少有一人得分不少于15分的概率.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某學校為了了解該校學生對于某項運動的愛好是否與性別有關(guān),通過隨機抽查110名學生,得到如下2×2的列聯(lián)表:

喜歡該項運動

不喜歡該項運動

總計

40

20

60

20

30

50

總計

60

50

110

由公式,算得

附表:

0.025

0.01

0.005

5.024

6.635

7.879

參照附表,以下結(jié)論正確是( )

A. 以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”

B. 以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關(guān)”

C. 以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”

D. 以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關(guān)”

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在三棱柱中,平面底面,,,的中點,側(cè)棱

(1)求證:平面;

(2)求直線與平面所成角的余弦值.

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