Question

7．以下莖葉圖記錄了在高三一診模擬考試中，A，B兩個學(xué)校的各4個班的優(yōu)生人數(shù)，其中有兩個數(shù)據(jù)模糊不清，在圖中用x，y表示，統(tǒng)計顯示，A，B兩個學(xué)校的優(yōu)生人數(shù)的平均值相等，A校優(yōu)生人數(shù)的方差比B校優(yōu)生人數(shù)的方差小1．
（Ⅰ）求實數(shù)x，y的值；
（Ⅱ）從A，B兩校中各隨機抽取一個班級，記這兩個班的優(yōu)生人數(shù)分別為m，n，求隨機變量ξ=|m-n|的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由莖葉圖先求出A學(xué)校每個班優(yōu)生人數(shù)的平均值和方差，由A，B兩個學(xué)校的優(yōu)生人數(shù)的平均值相等，A校優(yōu)生人數(shù)的方差比B校優(yōu)生人數(shù)的方差小1，列出方程組能求出x，y．
（Ⅱ）由已知得ξ可能取值為0，1，2，3，4，5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列與Eξ．

解答 解：（Ⅰ）由莖葉圖得A學(xué)校每個班優(yōu)生人數(shù)的平均值為：$\overline{{x}_{A}}$=$\frac{1}{4}（8+9+11+12）$=10，
A校優(yōu)生人數(shù)的方差為：${{S}_{A}}^{2}=\frac{1}{4}$[（8-10）²+（9-10）²+（11-10）²+（12-10）²]=2.5，
∵A，B兩個學(xué)校的優(yōu)生人數(shù)的平均值相等，A校優(yōu)生人數(shù)的方差比B校優(yōu)生人數(shù)的方差小1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overline{{x}_{B}}=\frac{1}{4}（9+x+13+10+y）=10}\\{{{S}_{B}}^{2}=\frac{1}{4}[（9-10）^{2}+（x-10）^{2}+（13-10）^{2}+{y}^{2}=2.5+1}\end{array}\right.$，
解得x=8，y=0．
（Ⅱ）由已知得ξ可能取值為0，1，2，3，4，5，
P（ξ=0）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{1}{4}$=$\frac{2}{16}$=$\frac{1}{8}$，
P（ξ=1）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{2}{4}+\frac{1}{4}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{1}{4}$=$\frac{5}{16}$，
P（ξ=2）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{2}{4}+\frac{1}{4}×\frac{1}{4}$=$\frac{4}{16}$=$\frac{1}{4}$，
P（ξ=3）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{16}$，
P（ξ=4）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{1}{4}$=$\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$，
P（ξ=5）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{16}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{16}$

Eξ=$0×\frac{1}{8}+1×\frac{5}{16}+2×\frac{1}{4}+3×\frac{1}{16}+4×\frac{1}{8}$+5×$\frac{1}{16}$=$\frac{29}{16}$．

點評 本題考查莖葉圖的應(yīng)用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．