Question

15．已知f（x）=a^x-a^-x（其中0＜a＜1，x∈R）．
（1）判斷并證明f（x）的奇偶性與單調(diào)性；
（2）若f（-2x²+3x）+f（m-x-x²）＞0對任意的x∈[0，1]均成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）=a^x-a^-x（其中0＜a＜1，x∈R）為奇函數(shù)，在R上且為減函數(shù)．運用奇偶性的定義和導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可得證；
（2）由題意運用f（x）在R上為奇函數(shù)且為減函數(shù)，可得m＜3x²-2x對0≤x≤1恒成立，由二次函數(shù)的最值求法，可得最小值，進(jìn)而得到m的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=a^x-a^-x（其中0＜a＜1，x∈R）為奇函數(shù)，
在R上且為減函數(shù)．
證明：定義域為R，f（-x）=a^-x-a^x=-f（x），
即有f（x）為奇函數(shù)；
由f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=a^xlna+a^-xlna=lna（a^x+a^-x），
由0＜a＜1可得lna＜0，a^x+a^-x＞0，即有f′（x）＜0，
則f（x）在R上遞減；
（2）若f（-2x²+3x）+f（m-x-x²）＞0對任意的x∈[0，1]均成立，
即為f（-2x²+3x）＞-f（m-x-x²）=f（x²+x-m），
由f（x）為R上的減函數(shù)，可得
-2x²+3x＜x²+x-m，對0≤x≤1恒成立，
即有m＜3x²-2x對0≤x≤1恒成立，
由y=3x²-2x在x=$\frac{1}{3}$處取得最小值，且為-$\frac{1}{3}$，
則m＜-$\frac{1}{3}$，即有實數(shù)m的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{3}$）．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷和運用，考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，同時考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和二次函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．