Question

12．已知函數f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求這個函數的圖象在點x=1處的切線方程；
（Ⅱ）討論函數f（x）在區(qū)間（0，t]（t＞0）上的單調性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數f（x）的定義域求出導函數，求這個函數在x=1處的切線的斜率，然后求解函數的切線方程．（Ⅱ）通過f'（x）=1+lnx=0，求出極值點，通過（1）當$0＜t≤\frac{1}{e}$時，（2）當$t＞\frac{1}{e}$時，分別判斷函數的單調性．

解答 （本題滿分12分）
解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=1+lnx．
這個函數的圖象在x=1處的切線的斜率為k=f′（1）=1．
把x=1代入f（x）=xlnx中得f（1）=0，即切點坐標為（1，0）．
則這個函數的圖象在x=1處的切線方程為y=x-1．…（5分）
（Ⅱ）令f′（x）=1+lnx=0，得$x=\frac{1}{e}$．
（1）當$0＜t≤\frac{1}{e}$時，在區(qū)間（0，t]上，f′（x）≤0成立，所以函數f（x）為減函數．
（2）當$t＞\frac{1}{e}$時，在區(qū)間$（{0，\frac{1}{e}}）$上，f′（x）＜0，f（x）為減函數；
在區(qū)間$（{\frac{1}{e}，t}）$上，f′（x）＞0，f（x）為增函數．…（12分）

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，切線方程以及函數的單調性的判斷，考查計算能力．