Question

12．已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求這個(gè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)x=1處的切線方程；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，t]（t＞0）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的定義域求出導(dǎo)函數(shù)，求這個(gè)函數(shù)在x=1處的切線的斜率，然后求解函數(shù)的切線方程．（Ⅱ）通過f'（x）=1+lnx=0，求出極值點(diǎn)，通過（1）當(dāng)$0＜t≤\frac{1}{e}$時(shí)，（2）當(dāng)$t＞\frac{1}{e}$時(shí)，分別判斷函數(shù)的單調(diào)性．

解答 （本題滿分12分）
解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=1+lnx．
這個(gè)函數(shù)的圖象在x=1處的切線的斜率為k=f′（1）=1．
把x=1代入f（x）=xlnx中得f（1）=0，即切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．
則這個(gè)函數(shù)的圖象在x=1處的切線方程為y=x-1．…（5分）
（Ⅱ）令f′（x）=1+lnx=0，得$x=\frac{1}{e}$．
（1）當(dāng)$0＜t≤\frac{1}{e}$時(shí)，在區(qū)間（0，t]上，f′（x）≤0成立，所以函數(shù)f（x）為減函數(shù)．
（2）當(dāng)$t＞\frac{1}{e}$時(shí)，在區(qū)間$（{0，\frac{1}{e}}）$上，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
在區(qū)間$（{\frac{1}{e}，t}）$上，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，切線方程以及函數(shù)的單調(diào)性的判斷，考查計(jì)算能力．