Question

7．在正四面體S-ABC中，若點(diǎn)E、F分別為SC、AB的中點(diǎn)，則異面直線EF、SA的夾角大小為45°．

Answer 1

分析 取AC中點(diǎn)O，連結(jié)OF、OE，則∠FEO是異面直線EF、SA的夾角（或?yàn)閵A角的補(bǔ)角），由此能求出異面直線EF、SA的夾角大�。�

解答 解：取AC中點(diǎn)O，連結(jié)OF、OE，
∵在正四面體S-ABC中，若點(diǎn)E、F分別為SC、AB的中點(diǎn)，
∴OF∥BC，OE∥SA，∴∠FEO是異面直線EF、SA的夾角（或?yàn)閵A角的補(bǔ)角），
設(shè)正四面體S-ABC的棱長為a，
則OF=OE=$\frac{a}{2}$，CF=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{a}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，EF=$\sqrt{C{F}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{\frac{3}{4}{a}^{2}-\frac{1}{4}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴cos∠FEO=$\frac{E{F}^{2}+{OE}^{2}-O{F}^{2}}{2×EF×OE}$=$\frac{\frac{1}{2}{a}^{2}+\frac{1}{4}{a}^{2}-\frac{1}{4}{a}^{2}}{2×\frac{\sqrt{2}}{2}a×\frac{a}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠FEO=45°．
∴異面直線EF、SA的夾角大小為45°．
故答案為：45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的大小的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．