Question

12．吉安市某校的甲乙兩名同學(xué)在6次數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)測(cè)試中的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖的莖葉圖所示：
（1）現(xiàn)要從中選派一人參加全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽，利用你學(xué)過(guò)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)，你認(rèn)為哪位學(xué)生參加更合適，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若將頻率視為概率，對(duì)學(xué)生乙在今后的四次數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)測(cè)試中的成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè)，記這四次成績(jī)中不少于86分的次數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）由莖葉圖分別求出$\overline{{x}_{甲}}$，$\overline{{x}_{乙}}$，${{S}_{甲}}^{2}$，${{S}_{乙}}^{2}$，由$\overline{{x}_{甲}}$=$\overline{{x}_{乙}}$，${{S}_{甲}}^{2}＞{{S}_{乙}}^{2}$，得到乙學(xué)生參加更合適．
（2）由已知得ξ取值為0，1，2，3，4，且ξ～B（4，$\frac{1}{3}$），由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）由莖葉圖得：
$\overline{{x}_{甲}}$=$\frac{76+78+84+85+90+91}{6}$=84，
$\overline{{x}_{乙}}$=$\frac{78+82+83+85+86+90}{6}$=84，
${{S}_{甲}}^{2}$=$\frac{1}{6}$[（76-84）²+（78-84）²+（84-84）²+（85-84）²+（90-84）²+（91-84）²]=31，
${{S}_{乙}}^{2}$=$\frac{1}{6}$[（78-84）²+（82-84）²+（83-84）²+（85-84）²+（86-84）²+（90-84）²]=$\frac{41}{6}$，
$\overline{{x}_{甲}}$=$\overline{{x}_{乙}}$，${{S}_{甲}}^{2}＞{{S}_{乙}}^{2}$，
∴乙學(xué)生參加更合適．
（2）不少于86分的頻率為$\frac{1}{3}$，故每次成績(jī)不少于86分的概率p=$\frac{1}{3}$，
ξ取值為0，1，2，3，4，且ξ～B（4，$\frac{1}{3}$），
P（ξ=0）=${C}_{4}^{0}（\frac{1}{3}）^{0}（\frac{2}{3}）^{4}$=$\frac{16}{81}$，
P（ξ=1）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{32}{81}$，
P（ξ=2）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{24}{81}$，
P（ξ=3）=${C}_{4}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}（\frac{2}{3}）$=$\frac{8}{81}$，
P（ξ=4）=${C}_{4}^{4}（\frac{1}{3}）^{4}（\frac{2}{3}）^{0}$=$\frac{1}{81}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{16}{81}$	$\frac{32}{81}$	$\frac{24}{81}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{1}{81}$

Eξ=np=4×$\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查莖葉圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．