Question

7．函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2-|x-2|}，}&{x∈[0，4]}\\{\frac{1}{2}f（x-4），}&{x∈（4，+∞）}\end{array}\right.$，若x＞0時(shí)，不等式f（x）≤$\frac{m}{x}$恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（　　）

• A． [4$\sqrt{2}$，+∞）
• B． [3$\sqrt{2}$，+∞）
• C． [2$\sqrt{2}$，+∞）
• D． [$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 利用函數(shù)與方程的關(guān)系求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，作出函數(shù)f（x）與g（x）=$\frac{m}{x}$的圖象，利用數(shù)形結(jié)合建立不等式關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：當(dāng)0≤x≤4時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，2]上為增函數(shù)，則[2，4]上為減函數(shù)，
則當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值f（2）=$\sqrt{2}$，
當(dāng)4≤x≤8時(shí)，0≤x-4≤4，
即f（x）=$\frac{1}{2}$f（x-4）=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2-|x-6|}$，此時(shí)的最大值為f（6）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)8≤x≤12時(shí)，4≤x-4≤8，
即f（x）=$\frac{1}{2}$f（x-4）=$\frac{1}{4}$$\sqrt{2-|x-10|}$，此時(shí)的最大值為f（10）=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖，要使當(dāng)x＞0時(shí)，不等式f（x）≤$\frac{m}{x}$恒成立，
則m＞0，
設(shè)g（x）=$\frac{m}{x}$，
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{f（2）≤g（2）}\\{f（6）≤g（6）}\\{f（10）≤g（10）}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}≤\frac{m}{2}}\\{\frac{\sqrt{2}}{2}≤\frac{m}{6}}\\{\frac{\sqrt{2}}{4}≤\frac{m}{10}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m≥2\sqrt{2}}\\{m≥3\sqrt{2}}\\{m≥\frac{5\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，即m≥3$\sqrt{2}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題，根據(jù)函數(shù)與不等式的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的大小關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．