【題目】已知函數(shù),其中為常數(shù).

(1)若,求曲線在點處的切線方程;

(2)若,求零點的個數(shù);

(3)若為整數(shù),且當(dāng)時, 恒成立,求的最大值.

(參考數(shù)據(jù),

【答案】(1);(2);(3).

【解析】試題分析:(1)當(dāng)時,由,且,即可求解再點處的切線方程;

(2)當(dāng)時, ,求得,從而得到在, 單調(diào)遞減,當(dāng)時, 單調(diào)遞增,確定函數(shù)的極值,再根據(jù)零點的存在定理,即可得到函數(shù)有兩個不同的零點.

(3)由題意知, 恒成立,即恒成立,令,得,從而判定出函數(shù)的單調(diào)性,進而得到存在 ,即,得到函數(shù)的最小值,再由

,所以的取值范圍,得出結(jié)論.

試題解析:

(1)當(dāng)時, .因為,從而.

,所以曲線在點處的切線方程,

.

(2)當(dāng)時, .因為,從而,

當(dāng), , 單調(diào)遞減;當(dāng)時, , 單調(diào)遞增.

所以當(dāng)時, 有極小值.

, ,所以之間有一個零點.

因為,所以之間有一個零點.

從而有兩個不同的零點.

(3)由題意知, 恒成立,

恒成立.

,則.

設(shè),則.

當(dāng)時, ,所以為增函數(shù).

因為 ,

所以存在, ,即.

當(dāng)時, , 單調(diào)遞減,當(dāng)時, 單調(diào)遞增.

所以當(dāng)時, 的最小值.

因為,所以.

故所求的整數(shù)的最大值為.

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【題目】已知函數(shù).

(1)求函數(shù)的圖象在處的切線方程;

(2)若函數(shù)上有兩個不同的零點,求實數(shù)的取值范圍;

(3)是否存在實數(shù),使得對任意的,都有函數(shù)的圖象在的圖象的下方?若存在,請求出最大整數(shù)的值;若不存在,請說理由.

(參考數(shù)據(jù): ).

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