Question

4．計算：${A}_{3}^{2}{+A}_{4}^{2}$+…+${A}_{100}^{2}$．

Answer 1

分析 利用排列數(shù)公式${A}_{n}^{m}$=${A}_{m}^{m}$•${C}_{n}^{m}$與組合數(shù)公式${C}_{n}^{m+1}$+${C}_{n}^{m}$=${C}_{n+1}^{m+1}$，進行計算即可．

解答 解：${A}_{3}^{2}$+${A}_{4}^{2}$+…+${A}_{100}^{2}$=${A}_{2}^{2}$（${C}_{3}^{2}$+${C}_{4}^{2}$+…+${C}_{100}^{2}$）
=2（${C}_{3}^{3}$+${C}_{3}^{2}$+${C}_{4}^{2}$+…+${C}_{100}^{2}$-1）
=2（${C}_{4}^{3}$+${C}_{4}^{2}$+…+${C}_{100}^{2}$-1）
=2（${C}_{100}^{3}$+${C}_{100}^{2}$-1）
=2（${C}_{101}^{3}$-1）
=2${C}_{101}^{3}$-2．

點評 本題考查了排列數(shù)與組合數(shù)公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．