Question

3．已知函數f（x）=x³-2x²+x+3，x∈[-2，1]．求：
（1）f（x）的單調區(qū)間        
（2）f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）求出原函數的導函數，分別利用導函數大于0和小于0，結合已知函數定義域求得原函數的單調區(qū)間；
（2）求出函數在[-2，1]兩端點的值，再求出函數在該區(qū)間上的最大值得答案．

解答 解：（1）由f（x）=x³-2x²+x+3，得f′（x）=3x²-4x+1，
由3x²-4x+1＞0，得x$＜\frac{1}{3}$或x＞1；由3x²-4x+1＜0，得$\frac{1}{3}＜x＜1$．
∴f（x）的單調增區(qū)間為[-2，$\frac{1}{3}$）；單調減區(qū)間為（$\frac{1}{3}，1$]；
（2）由（1）知，f（x）在[-2，$\frac{1}{3}$）上為增函數，在（$\frac{1}{3}$，1]上為減函數，
又f（-2）=-15，f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{85}{27}$，f（1）=3．
∴f（x）的值域為[-15，$\frac{85}{27}$]．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性，訓練了利用導數求函數在閉區(qū)間上的最值，是中檔題．