Question

19．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在拋物線(xiàn)x²=2y上，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)，垂足為H，動(dòng)點(diǎn)Q滿(mǎn)足$\overrightarrow{PQ}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{PH}$．
（1）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡E的方程；
（2）點(diǎn)M（-4，4），過(guò)點(diǎn)N（4，5）且斜率為k的直線(xiàn)交軌跡E于A、B兩點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)MA、MB的斜率分別為k₁、k₂，求k₁•k₂的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)Q（x，y），則P（x，2y），代入x²=2y得出軌跡方程；
（2）聯(lián)立直線(xiàn)AB方程與Q的軌跡方程，得出A，B的坐標(biāo)關(guān)系，代入斜率公式計(jì)算k₁k₂化簡(jiǎn)即可．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)Q（x，y），由$\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PH}$，則點(diǎn)P（x，2y），
將點(diǎn)P（x，2y）代入x²=2y得x²=4y．
∴動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡E的方程為x²=4y．
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)N的直線(xiàn)方程為y=k（x-4）+5，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-4）+5\\{x^2}=4y\end{array}\right.$，得x²-4kx+16x-20=0，
則$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=4k\\{x_1}{x_2}=16k-20\end{array}\right.$．
∵${k_1}=\frac{{{y_1}-4}}{{{x_1}+4}}，{k_2}=\frac{{{y_2}-4}}{{{x_2}+4}}$，
∴${k_1}{k_2}=\frac{{（k{x_1}-4k+1）（k{x_2}-4k+1）}}{{（{x_1}+4）（{x_2}+4）}}=\frac{{{k^2}{x_1}{x_2}+（k-4{k^2}）（{x_1}+{x_2}）+16{k^2}-8k+1}}{{{x_1}{x_2}+4（{x_1}+{x_2}）+16}}$
=$\frac{1-8k}{32k-4}=-\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線(xiàn)的性質(zhì)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，直線(xiàn)的斜率，屬于中檔題．