Question

9．已知函數(shù)f（x）=e^x-a（x+1）（a≠0）．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若f（x）＞a²-a，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)導(dǎo)函數(shù)和0的關(guān)系由此可得f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）需要分類討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)求出函數(shù)的最值，即可求出a的范圍．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-a，
若a＜0，則f′（x）＞0，f（x）在R遞增，
若a＞0，令f′（x）＞0，解得；x＞lna，令f′（x）＜0，解得：x＜lna，
∴f（x）在（-∞，lna）遞減，在（lna，+∞）遞增；
（2）若a＞0，只需f（lna）＞a²-a，即-alna＞a²-a，
即lna+a-1＜0，令g（a）=lna+a-1，
a＞0時，g（a）遞增，又g（1）=0，則0＜a＜1；
若a＜0，則f（ln（-a））=-aln（-a）-2a，
f（ln（-a））-（a²-a）=-aln（-a）-a²-a=-a[ln（-a）+a+1]
∵ln（-a）+a+1≤0，∴-a[ln（-a）+a+1]≤0，
則f[ln（-a）]≤a²-a，不合題意，
綜上，a的范圍是（0，1）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性和最值，正確運用導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵，屬于中檔題．