Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$+elnx-ax在x=1處取的極值．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）求證：f（x）≥0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到f′（1）=0，解出a即可；（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出f（x）≥f（1）=0即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$+$\frac{x}{e}$-a…①，
依題意知f′（1）=0，∴a=e；        …（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$+elnx-ex，（x＞0），
則f′（x）=$\frac{（x-1）{（e}^{x}-ex）}{{x}^{2}}$，
令g（x）=e^x-ex…②，
則g′（x）=e^x-e，由g′（x）=0，得x=1，
∵當(dāng)0＜x≤1時(shí)，g′（x）≤0，當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，
∴函數(shù)y=g（x）在（0，1]上遞減，在[1，+∞）上遞增，
∴當(dāng)0＜x≤1時(shí)，g（x）≥g（1）=0，當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＞g（1）=0，
∴對(duì)?x∈（0，+∞），g（x）≥0，即e^x≥ex…③
∴由②③，當(dāng)0＜x≤1時(shí)，x-1≤0，f′（x）≤0，
當(dāng)x＞1時(shí)，x-1＞0，f′（x）＞0，
∴函數(shù)y=f（x）在（0，1]上遞減，在[1，+∞）上遞增，
∴f（x）≥f（1）=0．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．