Question

若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（a_n，S_n）在y=

1

6

-

1

3

x的圖象上（n∈N^*），
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若c₁=0，且對(duì)任意正整數(shù)n都有cn+1-cn=log

1

2

an，求證：對(duì)任意正整數(shù)n≥2，總有

1

3

≤

1

c2

+

1

c3

+

1

c4

+…+

1

cn

＜

3

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）由點(diǎn)（a_n，S_n）在y=

1

6

-

1

3

x的圖象上（n∈N^*），可得Sn=

1

6

-

1

3

an，利用遞推式與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（II）對(duì)任意正整數(shù)n都有cn+1-cn=log

1

2

an=2n+1，利用“累加求和”可得c_n=（c_n-c_n-1）+（c_n-1-c_n-2）+…+（c₂-c₁）+c₁=（n+1）（n-1）．當(dāng)n≥2時(shí)，

1

cn

=

1

(n-1)(n+1)

=

1

2

(

1

n-1

-

1

n+1

)．再利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答： （I）解：∵點(diǎn)（a_n，S_n）在y=

1

6

-

1

3

x的圖象上（n∈N^*），
∴Sn=

1

6

-

1

3

an，
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=

1

6

-

1

3

an-1，
∴an=

1

3

an-1-

1

3

an，化為an=

1

4

an-1，
當(dāng)n=1時(shí)，a1=

1

6

-

1

3

a1，解得a₁=

1

8

．
∴an=

1

8

×(

1

4

)n-1=

1

2

×(

1

4

)n=(

1

2

)2n+1．
（2）證明：對(duì)任意正整數(shù)n都有cn+1-cn=log

1

2

an=2n+1，
∴c_n=（c_n-c_n-1）+（c_n-1-c_n-2）+…+（c₂-c₁）+c₁
=（2n-1）+（2n-3）+…+3
=

(n-1)(2n-1+3)

2

=（n+1）（n-1）．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，

1

cn

=

1

(n-1)(n+1)

=

1

2

(

1

n-1

-

1

n+1

)．
∴

1

c2

+

1

c3

+…+

1

cn

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)]=

1

2

(1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

)＜

1

2

(1+

1

2

)=

3

4

，
又

1

c2

+

1

c3

+…+

1

cn

≥

1

c2

=

1

3

．
∴

1

3

≤

1

c2

+

1

c3

+

1

c4

+…+

1

cn

＜

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、“累加求和”、“裂項(xiàng)求和”、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、“放縮法”、遞推式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．