Question

19．己知函數(shù)f（x）=tanx-x（0＜x＜$\frac{π}{2}$）．
（1）試判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并說明理由；
（2）若數(shù)列{a_n}滿足0＜a₁＜$\frac{π}{4}$，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，證明：0＜a_n+1＜a_n＜$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)$f′（x）=\frac{1}{co{s}^{2}x}-1$，根據(jù)$0＜x＜\frac{π}{2}$便可得到f′（x）＞0，從而得到f（x）在$（0，\frac{π}{2}）$上單調(diào)遞增；
（2）可先用數(shù)學(xué)歸納法證明$0＜{a}_{n}＜\frac{π}{4}$：1）n=1時(shí)顯然成立，2）可假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即$0＜{a}_{k}＜\frac{π}{4}$，根據(jù)（1）可知f（x）在$[0，\frac{π}{4}]$上單調(diào)遞增，從而便可得出$0＜{a}_{k+1}＜1-\frac{π}{4}＜\frac{π}{4}$，從而便得出$0＜{a}_{n}＜\frac{π}{4}$，然后作差即可證明a_n+1＜a_n，這樣即可得出要證明的結(jié)論．

解答 解：（1）$f′（x）=\frac{1}{co{s}^{2}x}-1$；
∵$0＜x＜\frac{π}{2}$；
∴0＜cosx＜1，0＜cos²x＜1；
∴$\frac{1}{co{s}^{2}x}＞1$；
∴f′（x）＞0；
∴f（x）在$（0，\frac{π}{2}）$上單調(diào)遞增；
（2）證明：先用數(shù)學(xué)歸納法證明0＜a_n＜$\frac{π}{4}$：
1）n=1時(shí)，由已知顯然結(jié)論成立；
2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即$0＜{a}_{k}＜\frac{π}{4}$；
∵f（x）在$（0，\frac{π}{2}）$單調(diào)遞增；
∴f（x）在$[0，\frac{π}{4}]$上單調(diào)遞增；
∴$f（0）＜f（{a}_{k}）＜f（\frac{π}{4}）$；
即$0＜{a}_{k+1}＜1-\frac{π}{4}＜\frac{π}{4}$；
故n=k+1時(shí)，結(jié)論成立；
由1），2）可知，0＜a_n＜$\frac{π}{4}$對(duì)一切正整數(shù)n都成立；
又∵$0＜{a}_{n}＜\frac{π}{4}$時(shí)，a_n+1-a_n=tana_n-a_n-a_n＜-a_n＜0；
∴a_n+1＜a_n；
∴綜上得，$0＜{a}_{n+1}＜{a}_{n}＜\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，余弦函數(shù)的值域，不等式的性質(zhì)，以及數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用及過程，增函數(shù)的定義，作差比較法比較兩個(gè)數(shù)的大小，要熟悉正切函數(shù)的圖象，注意正確求導(dǎo)．