9.已知f(x)=ex-ae-x+(a+1)x+2a,若對(duì)于任意的x∈(0,+∞),都有f(x)>0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a>$\frac{{e}^{x}+x}{{e}^{-x}-x-2}$,設(shè)h(x)=$\frac{{e}^{x}+x}{{e}^{-x}-x-2}$利用極限的思想求出函數(shù)h(x)的最大值,問(wèn)題得以解決.

解答 解:∵f(x)=ex-ae-x+(a+1)x+2a,對(duì)于任意的x∈(0,+∞),都有f(x)>0,
∴ex+x>a(e-x-x-2),
∵g(x)=e-x-x-2在(0,+∞)為減函數(shù),
∴g(x)max<g(0)=-1,
∴g(x)<-1,
∴a>$\frac{{e}^{x}+x}{{e}^{-x}-x-2}$,
設(shè)h(x)=$\frac{{e}^{x}+x}{{e}^{-x}-x-2}$,
∴$\underset{lim}{x→0}$=$\frac{{e}^{x}+x}{{e}^{-x}-x-2}$
=$\underset{lim}{x→0}$=$\frac{{e}^{x}}{-{e}^{-x}}$=-1,
∴a≥-1,
故a的取值范圍為[-1,+∞).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)的取值范圍以及函數(shù)恒成立的問(wèn)題和極限的思想,屬于中檔題.

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