Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為1，求函數(shù)在上的最值；

（2）令，若時(shí)， 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)且時(shí)，證明.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）; （Ⅲ）證明過(guò)程見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)曲線在點(diǎn)處的切線斜率為1，可求出參數(shù)的值，再對(duì)導(dǎo)函數(shù)在的正負(fù)，求出在上單調(diào)性，即可求出 的最值；（Ⅱ）由，構(gòu)造輔助函數(shù)，再對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，討論的取值范圍，利用函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)的最值，進(jìn)而確定的取值范圍；（Ⅲ）構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)，求出在的單調(diào)性，可求出的最小值，即可證明不等式成立.

試題解析：（Ⅰ）∵，∴，∴，

∴，記，∴，令得．

當(dāng)時(shí)， 單減；當(dāng)時(shí)， 單增，

∴，

故恒成立，所以在上單調(diào)遞增，

∴．

（Ⅱ）∵，∴．

令，∴，

當(dāng)時(shí)， ，∴在上單增，∴．

（i）當(dāng)即時(shí)， 恒成立，即，∴在上單增，

∴，所以．

（ii）當(dāng)即時(shí)，∵在上單增，且，

當(dāng)時(shí)， ，

∴，使，即．

當(dāng)時(shí)， ，即單減；

當(dāng)時(shí)， ，即單增．

∴，

∴，由，∴，記，

∴，∴在上單調(diào)遞增，

∴，∴，

綜上， ．

（Ⅲ）等價(jià)于，

即．

∵，∴等價(jià)于．

令，

則．

∵，∴．

當(dāng)時(shí)， ， 單減；

當(dāng)時(shí)， ， 單增．

∴在處有極小值，即最小值，

∴，

∴且時(shí)，不等式成立．