Question

18．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（4a-3）x+3a，x＜0}\\{1+lo{g}_{a}（x+1），x≥0}\end{array}\right.$（a＞0且a≠1），g（x）=-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+4ax．若同時(shí)滿足條件：①f（x）在R上單調(diào)遞減；②g（x）在（2，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]．

Answer 1

分析 利用函數(shù)f（x）是減函數(shù)，根據(jù)對(duì)數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷出a的大致范圍，再根據(jù)g（x）在（2，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，得到a的大致范圍，即可得出結(jié)論．

解答 解：y=log_a（x+1）+1在[0，+∞）遞減，則0＜a＜1，
函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，則：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3-4a}{2}≥0}\\{0＜a＜1}\\{{0}^{2}+（4a-3）•0+3a≥lo{g}_{a}（0+1）+1}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{3}$≤a≤$\frac{3}{4}$；
函數(shù)g（x）在（2，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，
即g′（x）＞0在（2，+∞）上有解
因?yàn)間′（x）=-x²+x+4a，
所以只需g′（2）＞0即可，
所以由g'（2）=-4+2+4a=4a-2＞0，解得a＞$\frac{1}{2}$，
∴當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在（2，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間．
∵同時(shí)滿足條件：①f（x）在R上單調(diào)遞減；②g（x）在（2，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]．
故答案為：（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．