Question

7．已知函數(shù)f（x）=x³+sinx，x∈[-1，1]，對(duì)任意x₁，x₂∈[-1，1]（x₁≠x₂），都有f（x₁）+f（x₂）＞0，則下列不等式正確的是（　　）

• A． x₁＞x₂
• B． x₁＜x₂
• C． x₁+x₂＞0
• D． x₁+x₂＜0

Answer 1

分析 先證明函數(shù)f（x）是R上單調(diào)遞增函數(shù)，是奇函數(shù)，由f（x₁）+f（x₂）＞0，即可推得x₁+x₂＞0．

解答 解：∵f（x）=x³+sinx，
∴f′（x）=3x²+cosx=3x²+cosx，
∵x∈[-1，1]，∴3x²≥0，cosx＞0，
故f′（x）＞0，
故函數(shù)f（x）是[-1，1]上單調(diào)遞增函數(shù)；
又因?yàn)閒（-x）=（-x）³+sin（-x）=-x³-sinx=-（x³+sinx）=-f（x）
所以有：f（x₁）+f（x₂）＞0⇒f（x₁）＞-f（x₂）=f（-x₂）⇒x₁＞-x₂⇒x₁+x₂＞0
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)奇偶性的判定，屬于中檔題．