Question

如圖，橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，離心率e＝，

過左焦點F₁作x軸的垂線交橢圓于A，A′兩點，|AA′|＝4.

(1)求該橢圓的標準方程；

(2)取垂直于x軸的直線與橢圓相交于不同的兩點P，P′，過P，P′作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點均在圓Q外．若PQ⊥P′Q，求圓Q的標準方程．

 

Answer 1

解　(1)由題意知點A(－c,2)在橢圓上，則＋＝1，從而e²＋＝1.

由e＝，得b²＝＝8，從而a²＝＝16.

故該橢圓的標準方程為＋＝1.

(2)由橢圓的對稱性，可設Q(x_0,0)．

又設M(x，y)是橢圓上任意一點，則

|QM|²＝(x－x₀)²＋y²＝x²－2x₀x＋x＋8＝(x－2x₀)²－x＋8(x∈[－4,4])．

設P(x₁，y₁)，由題意知，P是橢圓上到Q的距離最小的點，

因此，上式當x＝x₁時取最小值，又因x₁∈(－4,4)，所以上式當x＝2x₀時取最小值，從而x₁＝2x₀，且|QP|²＝8－x.

因為PQ⊥P′Q，且P′(x₁，－y₁)，所以＝(x₁－x₀，y₁)·(x₁－x₀，－y₁)＝0，

即(x₁－x₀)²－y＝0.

由橢圓方程及x₁＝2x₀，

得x－8＝0，

解得x₁＝±，x₀＝＝±.

從而|QP|²＝8－x＝.

故這樣的圓有兩個，其標準方程分別為

＋y²＝，＋y²＝.