Question

14．在△ABC中，tanA=3，面積為10，D為邊BC上一動點，CD=λDB．分別作邊AB，AC的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，若$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{DF}$∈[-$\frac{4}{3}$，-$\frac{9}{8}$]，則實數(shù)λ范圍為[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]∪[2，3]．

Answer 1

分析 由題意可得sinA=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，cosA=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，且∠EDF=π-A，|DE|•|DF|•cosA∈[$\frac{9}{8}$，$\frac{4}{3}$]①．再根據(jù)S=$\frac{1}{2}$|AB|•|AC|•sinA=$\frac{1}{2}$•$\frac{2S}{（λ+1）•|DE|}$•$\frac{2λS}{（λ+1）|DF|}$•sinA，可得|DE|•|DF|•cosA=$\frac{2λ•S}{{（λ+1）}^{2}}$•sinAcosA ②，結(jié)合①②求得λ的范圍．

解答 解：由題意可得，∠AED=∠AFD=90°，故A、E、D、F四點共圓，如圖所示：
∵tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=3，sin²A+cos²A=1，∴sinA=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，cosA=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，且∠EDF=π-A．
∵$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{DF}$=|DE|•|DF|•cos（π-A）=-|DE|•|DF|•（-cosA）∈[-$\frac{4}{3}$，-$\frac{9}{8}$]，
∴|DE|•|DF|•cosA∈[$\frac{9}{8}$，$\frac{4}{3}$]①．
∵$\frac{CD}{DB}$=λ，∴S_△ABD=$\frac{S}{1+λ}$，S_△ACD=$\frac{λS}{1+λ}$，
∴|AB|=$\frac{{2S}_{△ABD}}{|DE|}$=$\frac{2S}{（λ+1）•|DE|}$，同理求得|AC|=$\frac{2λS}{（λ+1）•|DF|}$．
又S=$\frac{1}{2}$|AB|•|AC|•sinA=$\frac{1}{2}$•$\frac{2S}{（λ+1）•|DE|}$•$\frac{2λS}{（λ+1）|DF|}$•sinA，
∴|DE|•|DF|•cosA=$\frac{2λ•S}{{（λ+1）}^{2}}$•sinAcosA ②，
由①②求得$\frac{3}{16}$≤$\frac{λ}{{（λ+1）}^{2}}$≤$\frac{2}{9}$，即 $\frac{1}{3}$≤λ≤$\frac{1}{2}$，或2≤λ≤3，
故答案為：[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]∪[2，3]．

點評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩個向量的數(shù)量積的運算，屬于難題．