Question

已知直平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的各條棱長均為3，∠BAD=60°長為2的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在DD₁上運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)N在底面ABCD上運(yùn)動(dòng)，則MN的中點(diǎn)P的軌跡（曲面）與共一頂點(diǎn)D的三個(gè)面所圍成的幾何體的體積為（　�。�

• A、

  2

  9

  π
• B、

  4

  9

  π
• C、

  2

  3

  π
• D、

  4

  3

  π

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：由題意知P點(diǎn)的軌跡是以D為球心半徑為1的球被平行六面體截得的曲面，它的體積是該球體積的

1

3

×

1

2

=

1

6

，由此能求出MN的中點(diǎn)P的軌跡（曲面）與共一頂點(diǎn)D的三個(gè)面所圍成的幾何體的體積．

解答： 解：∵△MDN為直角三角形，P為MN的中點(diǎn)，
∴DP=

1

2

MN=1．
∴P點(diǎn)的軌跡是以D為球心半徑為1的球被平行六面體截得的曲面，
由題意得∠ADC=120°=

2π

3

，
∴它的體積是該球體積的

1

3

×

1

2

=

1

6

，
∴MN的中點(diǎn)P的軌跡（曲面）與共一頂點(diǎn)D的三個(gè)面所圍成的幾何體的體積為：
V=

1

6

×

4π

3

×13=

2π

9

．
故選：A．

點(diǎn)評：本題考查幾何體的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．