Question

討論函數(shù)f（x）=alnx+

1

2

ax2-x（a∈R）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：通過討論a的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，從而得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）a=0時(shí)，f（x）=-x，∴f（x）在（0，+∞）遞減；
（2）a≠0時(shí)，f′（x）=

a

x

+ax-1=

ax2-x+a

x

，（x＞0），
令g（x）=ax²-x+a，
①0＜a＜

2

2

時(shí)，△=1-4a²＞0，x=

1± 1-4a2

2a

，
∴在區(qū)間（0，

1- 1-4a2

2a

）和（

1+ 1-4a2

2a

，+∞）上，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）遞增，
在區(qū)間（

1- 1-4a2

2a

，

1+ 1-4a2

2a

，）上，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）遞減，
②a≥

2

2

時(shí)，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）遞增，
③-

2

2

＜a＜0時(shí)，△=1-4a²＞0，x=

1± 1-4a2

2a

，
∴在區(qū)間（0，

1- 1-4a2

2a

）和（

1+ 1-4a2

2a

，+∞）上，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）遞減，
在區(qū)間（

1- 1-4a2

2a

，

1+ 1-4a2

2a

，）上，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）遞增，
④a≤-

2

2

時(shí)，△≤0，g（x）≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)，考查分類討論思想，是一道中檔題．