Question

8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（2，0），B（0，2），△ABO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的外接圓記為圓P．
（1）求圓P的方程；
（2）若直線y+1=k（x+1）與圓P有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得△ABO為直角三角形，故它的外接圓的圓心為斜邊AB的中點(diǎn)，由此求出圓的圓心和半徑，從而得到圓的方程．
（2）直線即kx-y+k-1=0，根據(jù)它與圓P有公共點(diǎn)，圓心P到直線的距離小于或等于半徑，即 $\frac{|k-1+k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤$\sqrt{2}$，由此求得k的范圍．

解答 解：（1）由題意可得△ABO為直角三角形，故它的外接圓的圓心為斜邊AB的中點(diǎn)，
再根據(jù)A（2，0），B（0，2），可得圓心P（1，1），半徑為$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{2}$，
故圓P的方程為 （x-1）²+（y-1）²=2．
（2）若直線y+1=k（x+1），即kx-y+k-1=0，∵它與圓P有公共點(diǎn)，
故圓心P到直線的距離小于或等于半徑，即 $\frac{|k-1+k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤$\sqrt{2}$，
求得2-$\sqrt{3}$≤k≤2+$\sqrt{3}$，故實(shí)數(shù)k的取值范圍為[2-$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓相交的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．