Question

13．如圖，已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點(diǎn)（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）．
（Ⅰ）求該橢圓的方程；
（Ⅱ）若A，B，C為橢圓上的三點(diǎn)（A，B不在坐標(biāo)軸上），滿足$\overrightarrow{OC}$=$\frac{3}{5}\overrightarrow{OA}$+$\frac{4}{5}\overrightarrow{OB}$，直線OA，OB分別交直線l：x=3于M，N兩點(diǎn)，設(shè)直線OA，OB的斜率為k₁，k₂．證明：k₁•k₂為定值，并求線段MN長度的最小值．

Answer 1

分析 （I）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+{y}_{1}^{2}=1$，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+{y}_{2}^{2}$=1．由于滿足$\overrightarrow{OC}$=$\frac{3}{5}\overrightarrow{OA}$+$\frac{4}{5}\overrightarrow{OB}$，可得$\overrightarrow{OC}$=$（\frac{3}{5}{x}_{1}+\frac{4}{5}{x}_{2}，\frac{3}{5}{y}_{1}+\frac{4}{5}{y}_{2}）$．代入橢圓的方程化簡可得：x₁x₂+4y₁y₂=0，即可證明k₁k₂為定值．設(shè)OA：y=k₁x，OB：y=-$\frac{1}{4{k}_{1}}$x，令x=3，解得M，N．|MN|=$|3{k}_{1}+\frac{3}{4{k}_{1}}|$=$|3{k}_{1}|+\frac{3}{|4{k}_{1}|}$，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 （I）解：由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（II）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+{y}_{1}^{2}=1$，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+{y}_{2}^{2}$=1，①．
∵滿足$\overrightarrow{OC}$=$\frac{3}{5}\overrightarrow{OA}$+$\frac{4}{5}\overrightarrow{OB}$，∴$\overrightarrow{OC}$=$（\frac{3}{5}{x}_{1}+\frac{4}{5}{x}_{2}，\frac{3}{5}{y}_{1}+\frac{4}{5}{y}_{2}）$．
代入橢圓的方程可得：$\frac{（\frac{3}{5}{x}_{1}+\frac{4}{5}{y}_{1}）^{2}}{4}+（\frac{3}{5}{y}_{1}+\frac{4}{5}{y}_{2}）^{2}=1$，
化為$（\frac{3}{5}）^{2}（\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+{y}_{1}^{2}）$+$（\frac{4}{5}）^{2}（\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+{y}_{2}^{2}）$+$\frac{6}{25}（{x}_{1}{x}_{2}+4{y}_{1}{y}_{2}）$=1，
由①可得：x₁x₂+4y₁y₂=0，
∴k₁k₂=-$\frac{1}{4}$為定值．
設(shè)OA：y=k₁x，OB：y=-$\frac{1}{4{k}_{1}}$x，令x=3，解得M（3，3k₁），N$（3，-\frac{3}{4{k}_{1}}）$．
∴|MN|=$|3{k}_{1}+\frac{3}{4{k}_{1}}|$=$|3{k}_{1}|+\frac{3}{|4{k}_{1}|}$≥3×$2\sqrt{|{k}_{1}|•\frac{1}{4|{k}_{1}|}}$=3，當(dāng)且僅當(dāng)${k}_{1}=±\frac{1}{2}$時(shí)取等號，
∴|MN|的最小值為3．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、向量坐標(biāo)運(yùn)算、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．