Question

12．已知圓C過點M（0，-$\frac{1}{2}$），且與直線l：y=$\frac{1}{2}$相切．
（I）求圓心C的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)軌跡與過點N（0，-1）的直線m相交于A，B兩點，O為坐標原點，若OA和OB的斜率之和為1，求直線m的方程．

Answer 1

分析 （I）設(shè)出動圓圓心的坐標，根據(jù)題意可知圓心到定點（0，-$\frac{1}{2}$）到直線y=$\frac{1}{2}$的距離都等于半徑，進而利用拋物線的定義可求得x和y的關(guān)系式．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），與拋物線的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)關(guān)系，再利用斜率計算公式及OA和OB的斜率之和為1．即可得出k．

解答 解：（I）設(shè)動圓圓心坐標為（x，y）
∵圓C過點M（0，-$\frac{1}{2}$），且與直線l：y=$\frac{1}{2}$相切，
∴圓心到定點（0，-$\frac{1}{2}$）及到直線y=$\frac{1}{2}$的距離都等于半徑，
∴根據(jù)拋物線的定義可知動圓圓心的軌跡方程是x²=-2y；
（Ⅱ）顯然直線l的斜率必存在，設(shè)直線l的方程為y=kx-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{{x}^{2}=-2y}\end{array}\right.$得x²+2kx-2=0，
∴x₁+x₂=-2k，x₁x₂=-2．
∵$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=1，
∴$\frac{k{x}_{1}-1}{{x}_{1}}$+$\frac{k{x}_{2}-1}{{x}_{2}}$=2k-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=2k-$\frac{-2k}{-2}$=1，解得k=1
所以直線l的方程為y=x-1．

點評 本題考查軌跡方程，利用拋物線的定義來求軌跡方程、熟練掌握直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式是關(guān)鍵．