Question

2．函數(shù)f（x）=x•|x-1|+m
（1）設(shè)函數(shù)g（x）=（2-m）x+3m，若方程f（x）=g（x）在（0，1]上有且僅有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)m＞1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）在[0，m]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）對(duì)二次方程分類討論：當(dāng)在（0，1]上有兩相等實(shí)根，和在（0，1）上有且僅有一個(gè)實(shí)根和恰有一根為x=1，根據(jù)不同情況分別求m的范圍．
（2）對(duì)x分類，去絕對(duì)值，利用二次函數(shù)求出區(qū)間內(nèi)的最大值．

解答 解：方程f（x）=g（x）在（0，1]上有且僅有一個(gè)實(shí)根，
∴方程x²-（m-1）x+2m=0在（0，1]上有且僅有一個(gè)實(shí)根，
當(dāng)方程x²-（m-1）x+2m=0在（0，1]上有兩相等實(shí)根，
∴△=（m-1）²-8m=0，
0＜$\frac{m-1}{2}$≤1，得出m無解；
當(dāng)方程x²-（m-1）x+2m=0有兩相等實(shí)根，且在（0，1]上有且僅有一個(gè)實(shí)根，
當(dāng)在（0，1）上有且僅有一個(gè)實(shí)根，
∴f（0）f（1）＜0，
∴2m（m+2）＜0，
∴-2＜m＜0，
當(dāng)f（1）=0時(shí)，m=-2，x²+3x-4=0，
∴x₁=1，x₂=4符合題意，
∴m的取值范圍是[-2，0）；
（2）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x（1-x）+m=-（x-$\frac{1}{2}$）²+m+$\frac{1}{4}$
當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）_max=m+$\frac{1}{4}$，
當(dāng)x∈（1，m]時(shí)，f（x）=（x-$\frac{1}{2}$）²+m-$\frac{1}{4}$，
函數(shù)在（1，m]時(shí)遞增，
∴f（x）_max=f（m）=m²，
由m²＞m+$\frac{1}{4}$得m≥$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)m≥$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$時(shí)，f（x）_max=f（m）=m²，
當(dāng)1＜m＜$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$時(shí)，f（x）_max=m+$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 考查了二次函數(shù)區(qū)間內(nèi)根的個(gè)數(shù)的判定和絕對(duì)值的分類討論問題．難點(diǎn)是對(duì)參數(shù)的分類方法和二次函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用．