Question

17．已知函數f（x）=lnx+（x-b）²（b∈R）在區(qū)間$[{\frac{1}{2}，2}]$上存在單調遞增區(qū)間，則實數b的取值范圍是（　�。�

• A． $（{-∞，\frac{3}{2}}）$
• B． $（{-∞，\frac{9}{4}}）$
• C． （-∞，3）
• D． $（{-∞，\sqrt{2}}）$

Answer 1

分析 利用導函數得到不等式恒成立，然后求解b的范圍．

解答 解：∵函數f（x）在區(qū)間$[{\frac{1}{2}，2}]$上存在單調增區(qū)間，
∴函數f（x）在區(qū)間$[{\frac{1}{2}，2}]$上存在子區(qū)間使得不等式f′（x）＞0成立．
$f'（x）=\frac{1}{x}+2（{x-b}）=\frac{{2{x^2}-2bx+1}}{x}$，
設h（x）=2x²-2bx+1，則h（2）＞0或$h（{\frac{1}{2}}）＞0$，
即8-4b+1＞0或$\frac{1}{2}-b+1＞0$，
得$b＜\frac{9}{4}$．
故選：B．

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，不等式的解法，考查計算能力．