Question

2．已知函數(shù)$f（x）=Asin（ωx+ϕ）（{x∈R，ω＞0，A＞0，0＜ϕ＜\frac{π}{2}}）$的最大值為2，最小正周期為π，直線x=$\frac{π}{6}$是其圖象的一條對(duì)稱軸．
（1）求f（x）的解析式； 
（2）當(dāng)$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$時(shí)，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，由圖象的對(duì)稱性求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（x）的值域．

解答 解：（1）∵函數(shù)$f（x）=Asin（ωx+ϕ）（{x∈R，ω＞0，A＞0，0＜ϕ＜\frac{π}{2}}）$的最大值為2，∴A=2；
根據(jù)最小正周期為$\frac{2π}{ω}$=π，可得ω=2；
再根據(jù)直線x=$\frac{π}{6}$是其圖象的一條對(duì)稱軸，可得2×$\frac{π}{6}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，可得φ=kπ+$\frac{π}{6}$，故φ=$\frac{π}{6}$，
故f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）當(dāng)$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$時(shí)，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，∴f（x）∈[-1，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由圖象的對(duì)稱性求出φ的值，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．