Question

3．給定橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），稱圓心在原點O，半徑為$\sqrt{{a^2}+{b^2}}$的圓是橢圓C的“準(zhǔn)圓”．若橢圓C的一個焦點為F（$\sqrt{2}$，0），且其短軸上的一個端點到F的距離為$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；
（2）過點（1，0）作一條傾斜角為30°的直線與橢圓交于A，B兩點．若在橢圓上存在一點C滿足$\overrightarrow{OC}$=λ（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），試求λ的值；
（3）點P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的一個動點，過動點P作直線l₁，l₂，使得l₁，l₂與橢圓C都只有一個交點，試判斷l(xiāng)₁，l₂是否垂直，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）欲求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”方程，只要求出半徑$\sqrt{{a^2}+{b^2}}$即可，即分別求出橢圓方程中的a，b即得，這由題意不難求得；
（2）確定直線l的方程，代入橢圓方程并整理，利用韋達定理，結(jié)合$\overrightarrow{OC}$=λ（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），求出C的坐標(biāo)，代入橢圓方程，即可求λ的值．
（3）先分兩種情況討論：①當(dāng)l₁，l₂中有一條無斜率時；②．②當(dāng)l₁，l₂都有斜率時，第一種情形比較簡單，對于第二種情形，將與橢圓只有一個公共點的直線為y=t（x-x₀）+y₀，代入橢圓方程，消去去y得到一個關(guān)于x的二次方程，根據(jù)根的判別式等于0得到一個方程：（3-x₀²）t²+2x₀y₀t+（x₀²-3）=0，而直線l₁，l₂的斜率正好是這個方程的兩個根，從而證得l₁⊥l₂．

解答 解：（1）因為$c=\sqrt{2}，a=\sqrt{3}$，所以b=1
所以橢圓的方程為$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，
準(zhǔn)圓的方程為x²+y²=4．
（2）過點（1，0）作一條傾斜角為30°的直線的方程為y=tan30°（x-1）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1），
代入橢圓方程$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，
并整理得x²-x-1=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=1，
∴y₁+y₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x₁-1）+$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x₂-1）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x₁+x₂-2）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴$\overrightarrow{OC}$=λ（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）=λ（x₁+x₂，y₁+y₂）=λ（1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
∴C點坐標(biāo)為（λ，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$λ），
代入橢圓方程$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，可得$\frac{{λ}^{2}}{3}$+$\frac{{λ}^{2}}{3}$=1，
∴2λ²=3，解得λ=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
（3）①當(dāng)l₁，l₂中有一條無斜率時，不妨設(shè)l₁無斜率，
因為l₁與橢圓只有一個公共點，則其方程為$x=\sqrt{3}$或$x=-\sqrt{3}$，
當(dāng)l₁方程為$x=\sqrt{3}$時，此時l₁與準(zhǔn)圓交于點$（\sqrt{3}，1）（\sqrt{3}，-1）$，
此時經(jīng)過點$（\sqrt{3}，1）$（或$\sqrt{3}，-1）$且與橢圓只有一個公共點的直線是y=1（或y=-1），
即l₂為y=1（或y=-1），顯然直線l₁，l₂垂直；
同理可證l₁方程為$x=-\sqrt{3}$時，直線l₁，l₂垂直．
②當(dāng)l₁，l₂都有斜率時，設(shè)點P（x₀，y₀），其中x₀²+y₀²=4，
設(shè)經(jīng)過點P（x₀，y₀），與橢圓只有一個公共點的直線為y=t（x-x₀）+y₀，
則$\left\{\begin{array}{l}y=tx+（{y_0}-t{x_0}）\\ \frac{x^2}{3}+{y^2}=1\end{array}\right.$，消去y得到x²+3（tx+（y₀-tx₀））²-3=0，
即（1+3t²）x²+6t（y₀-tx₀）x+3（y₀-tx₀）²-3=0，△=[6t（y₀-tx₀）]²-4•（1+3t²）[3（y₀-tx₀）²-3]=0，
經(jīng)過化簡得到：（3-x₀²）t²+2x₀y₀t+1-y₀²=0，因為x₀²+y₀²=4，所以有（3-x₀²）t²+2x₀y₀t+（x₀²-3）=0，
設(shè)l₁，l₂的斜率分別為t₁，t₂，因為l₁，l₂與橢圓都只有一個公共點，
所以t₁，t₂滿足上述方程（3-x₀²）t²+2x₀y₀t+（x₀²-3）=0，
所以t₁•t₂=-1，即l₁，l₂垂直．

點評 本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的綜合問題，突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計算能力較高．綜合性較強，難度較大．